02 – Na parábola de equação 2x² – 12x – y 14 = 0, determine
Pergunta:
02 – Na parábola de equação 2x² – 12x – y 14 = 0, determine: (2,0) a) A equação reduzida; b) O foco; c) A diretriz; d) O eixo de simetria; e) Um esboço do gráfico
Nessa parábola, a equação reduzida é (x – 3)² = (1/2)·(y + 4), o vértice é V(3, -4), o foco é F(3, -15/4) e a reta diretriz é y = -17/4.
Parábolas
Como a equação da parábola tem o termo x², ela tem eixo de simetria paralelo ao eixo y, sua equação será da forma:
(x-x₀)² = 2p(y – y₀)
onde:
(x₀, y₀) é o vértice da parábola;
O parâmetro p é a distância entre a reta diretriz e o foco;
Então, podemos reescrevê-la na forma acima:
2x² – 12x + 14 = y
2(x² – 6x + 7) = y
Podemos reescrever o termo em parêntesis como um produto notável:
(x² – 6x + 7 + 2) = y/2 + 2
(x – 3)² = y/2 + 2
(x – 3)² = (1/2)·(y + 4)
Temos o vértice dado por V(3, -4) e também o parâmetro:
2p = 1/2
p = 1/4
O foco será dado por:
F = (x0, y0 + p)
F = (3, -4 + 1/4)
F = (3, -15/4)
A reta diretriz será:
y = y0 + p
y = -4 + (-1/4)
y = -17/4
2x² – 12x – y + 14 = 0
2x² – 12x = y – 14
2(x² – 6x) = y – 14
2(x² – 6x + 9) = y – 14 + 18
2(x – 3)² = y + 4
(x – 3)² = 1/2(y + 4) ===> equação reduzida da parábola
Vértice: V(x0, y0) = V(3, – 4)
Foco: F(x0, y0 + p) = F(3, – 31/8)
Diretriz:
y = y0 – p
y = – 4 – 1/8
y = – 33/8
Equação do eixo:
x = 3
Explicação passo a passo:
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