A derivada é bastante útil no momento de estudar taxas de v
Pergunta:
A derivada é bastante útil no momento de estudar taxas de variação onde estão envolvidas grandezas físicas, isto é claro, garantindo que a modelagem desta grandeza seja descrita por uma função matemática. Entende-se a derivada como o coeficiente angular da reta tangente à curva dada, porém, mais intuitivamente ela pode ser utilizada para descrever se uma curva deve “subir” ou “descer” ao longo de um certo intervalo. Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x3 + x2 – 6x, analise as opções: I. Possui dois pontos críticos. II. Tem máximo em x = -2. III. Em x = 1, a concavidade é voltada para cima. IV. Existem dois pontos de inflexão. Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente as opções I e III estão corretas. B ) Somente as opções II e III estão corretas. C ) Somente as opções II e IV estão corretas. D ) Somente as opções I, III e IV estão corretas.
Está correta a alternativa A) Somente as opções I e III estão corretas.
Explicação passo a passo:
Olá!
Para fazer as análises, iremos utilizar a primeira e segunda derivadas da função.
[tex]f(x) = x^{3} + x^{2} – 6x[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{df}{dx} = 3x^{2} + 2x – 6[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x + 2[/tex]
Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a zero a primeira derivada:
[tex]3x^{2} + 2x – 6 = 0[/tex]
[tex]\Delta = 2^{2} – 4 \cdot 3 \cdot (-6)[/tex]
[tex]\Delta = 4 – 12 \cdot (-6)[/tex]
[tex]\Delta = 4 + 72[/tex]
[tex]\Delta = 76[/tex]
[tex]\displaystyle x’ = \frac{-2 + \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 +2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{19}}{3}[/tex]
[tex]\displaystyle x” = \frac{-2 – \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 – 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 – \sqrt{19}}{3}[/tex]
Descobrimos dois pontos críticos e seus respectivos valores de x.
Portanto, a opção I é Verdadeira.
Para saber o ponto de máximo, aplicamos os valores de x na segunda derivada:
[tex]6x + 2 =[/tex]
[tex]\displaystyle 6\left( \frac{\sqrt{19}-1}{3} \right) + 2=[/tex]
[tex]2\sqrt{19} – 2 + 2 = 2\sqrt{19}[/tex]
[tex]\displaystyle 2\sqrt{19} > 0\ \ \therefore\ \ \ x = \frac{\sqrt{19}-1}{3}[/tex] é ponto de mínimo
[tex]\displaystyle 6\left( \frac{-\sqrt{19}-1}{3} \right) + 2=[/tex]
[tex]-2\sqrt{19}-2 + 2 = -2\sqrt{19}[/tex]
[tex]\displaystyle -2\sqrt{19} > 0\ \ \therefore\ \ \ x = \frac{-\sqrt{19}-1}{3}[/tex] é ponto de máximo
[tex]\displaystyle \frac{-\sqrt{19}-1}{3}\ \large \text{$\neq$}\ -2[/tex]
Portanto, a opção II é falsa.
Para saber a concavidade no ponto x = 1, iremos aplicar este valor à segunda derivada:
[tex]6 \cdot 1 + 2 = 8[/tex]
[tex]8 > 0\ \ \ \therefore\ \ \ x=1[/tex] possui concavidade voltada para cima.
Portanto, a opção III é verdadeira.
Para saber quantos e quais são os pontos de inflexão, iremos igualar a segunda derivada a zero:
[tex]6x + 2= 0[/tex]
[tex]6x = -2[/tex]
[tex]\displaystyle x = -\frac{1}{3}[/tex]
Existe um único ponto de inflexão em [tex]\displaystyle x = -\frac{1}{3}[/tex]
Portanto, a opção IV é falsa.
Finalmente podemos responder que está correta a alternativa A) Somente as opções I e III estão corretas.
Espero ter lhe ajudado.
Abraços!
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