Mostre que, se ab e cd são arcos de medidas iguais de uma c
Pergunta:
Mostre que, se ab e cd são arcos de medidas iguais de uma circunferência, então as cordas ab e cd são congruentes.
Podemos demonstrar o que se pede usando semelhança entre triângulos.
- Hipótese (o que sabemos de certeza)
Os arcos ab e cd são iguais.
- Tese (o que queremos provar)
O segmento AB é igual ao segmento CD.
Demonstração:
Considere um círculo de centro O, como na imagem em anexo.
- Nesse círculo, podemos formar dois triângulos: [tex]\large{\text{$\sf{\triangle AOB}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{\triangle COD}$}}[/tex].
- Os segmentos [tex]\large{\text{$\sf{OA=OB=OC=OD}$}}[/tex] são todos iguais, pois valem o raio da circunferência.
- Os ângulos [tex]\large{\text{$\sf{A\hat{O}B}$}}[/tex] e [tex]\large{\text{$\sf{C\hat{O}D}$}}[/tex] são iguais, pois essa é a hipótese dada pelo enunciado.
Ora, se [tex]\large{\text{$\sf{OA=OD}$}}[/tex], [tex]\large{\text{$\sf{OB=OC}$}}[/tex] e os ângulos entre esse lados são iguais, então pelo caso de semelhança LAL (lado ângulo lado) esses dois triângulos são congruentes, e o lado [tex]\large{\text{$\sf{AB}$}}[/tex] é igual ao lado [tex]\large{\text{$\sf{CD}$}}[/tex].
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