Qual é a probabilidade de escolher um número de cinco dígitos com primeiro dígito 1 e último dígito 9?

Qual é a probabilidade de um número de 5 dígitos cujo dígito mais à esquerda seja igual a 1 e o dígito das unidades seja igual a 9?

Questões de probabilidade envolvendo análise combinatória são muito comuns em vestibulares, concursos e provas de matemática. Neste exercício, precisamos determinar a probabilidade de escolher um número específico dentro de um conjunto de números ímpares de cinco dígitos com algarismos diferentes.

A questão é a seguinte:

Qual é a probabilidade de escolher aleatoriamente um número de cinco dígitos cujo dígito mais à esquerda seja igual a 1 e o dígito das unidades seja igual a 9 dentre todos os números ímpares de cinco dígitos que possuem dígitos diferentes?

Alternativas:

• A) 1/10
• B) 1/20
• C) 1/25
• D) 1/40
• E) 1/80

Entendendo o problema

Precisamos calcular:

$P(A)=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$P(A)=casos possıˊveiscasos favoraˊveis​

Onde:

• Casos possíveis = todos os números ímpares de cinco dígitos com algarismos diferentes.
• Casos favoráveis = números que:
  • começam com 1;
  • terminam com 9;
  • possuem todos os dígitos diferentes.

Calculando o total de casos possíveis

Um número de cinco dígitos ímpar deve terminar em:

• 1, 3, 5, 7 ou 9.

Além disso, todos os dígitos devem ser diferentes.

Passo 1: escolher o último dígito

Como o número precisa ser ímpar:

• temos 5 opções para a unidade.

Passo 2: escolher o primeiro dígito

O primeiro dígito:

• não pode ser 0;
• não pode repetir o último dígito.

Assim:

• restam 8 opções.

Passo 3: escolher os três dígitos do meio

Depois de escolher primeiro e último dígito:

• sobraram 8 dígitos para a segunda posição;
• depois 7 para a terceira;
• depois 6 para a quarta.

Portanto:

$5\times8\times8\times7\times6$5×8×8×7×6

Calculando:$$5 \times 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 13440$$5×8×8×7×6=13440

Logo, existem:$$13440$$13440

números possíveis.

Calculando os casos favoráveis

Agora queremos números que:

• começam com 1;
• terminam com 9;
• possuem dígitos diferentes.

Então:

• o primeiro dígito já está fixado em 1;
• o último dígito já está fixado em 9.

Restam apenas os três dígitos centrais para escolher.

Os dígitos disponíveis serão:

• 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

Total: 8 dígitos disponíveis.

Escolhendo os três dígitos centrais

• terceira posição: 8 opções;
• quarta posição: 7 opções;
• quinta posição: 6 opções.

Então:

$8\times7\times6$8×7×6

Calculando:$$8 \times 7 \times 6 = 336$$8×7×6=336

Logo, existem:$$336$$336

casos favoráveis.

Calculando a probabilidade

Agora aplicamos a fórmula:

$P=\frac{336}{13440}$P=13440336​

Simplificando:$$P = \frac{336}{13440} = \frac{1}{40}$$P=13440336​=401​

Resposta correta

A alternativa correta é:

D) 1/40

Resumo da resolução

Etapa	Resultado
Total de números possíveis	13.440
Casos favoráveis	336
Probabilidade	1/40

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Dicas para resolver questões semelhantes

Em problemas de probabilidade com números e dígitos:

1. Identifique primeiro o espaço amostral.
2. Verifique as restrições:
   • número par ou ímpar;
   • repetição de algarismos;
   • primeiro dígito diferente de zero.
3. Conte os casos favoráveis separadamente.
4. Use a fórmula da probabilidade.

Esse tipo de questão costuma envolver conceitos de:

• análise combinatória;
• princípio multiplicativo;
• permutação simples;
• probabilidade.